La ecuación de la circunferencia centrada en el origen

La ecuación de la circunferencia centrada en el origen es una herramienta fundamental en la geometría analítica. Esta ecuación permite representar de forma precisa una circunferencia en un plano cartesiano. En esta ecuación, las coordenadas del centro de la circunferencia son (0,0) y el radio de la circunferencia se encuentra en la parte derecha de la igualdad. Aprender a utilizar esta ecuación es esencial para resolver problemas y construir figuras geométricas en el plano cartesiano.

Definición de la ecuación de la circunferencia

La ecuación de la circunferencia centrada en el origen se define como:

x2 + y2 = r2

donde x e y son las coordenadas del punto en la circunferencia, r es el radio de la circunferencia y el origen (0,0) es el centro de la circunferencia.

Esta ecuación puede ser utilizada para encontrar la ubicación de cualquier punto en la circunferencia, siempre y cuando se conozca el radio y el centro de la misma.

En la ecuación de la circunferencia, el término x2 representa la distancia al cuadrado del punto al eje x, mientras que el término y2 representa la distancia al cuadrado del punto al eje y. Sumando estos términos se obtiene la distancia total al cuadrado del punto al centro de la circunferencia.

La ecuación de la circunferencia centrada en el origen es una herramienta importante en la geometría y el álgebra, y puede ser utilizada en diversas aplicaciones, como la ubicación de objetos en un plano cartesiano o el cálculo de áreas de figuras geométricas.

Cálculo del radio y el centro

Para calcular el radio y el centro de la circunferencia centrada en el origen, se deben seguir los siguientes pasos:

  1. Identificar los valores de a y b en la ecuación de la circunferencia x2 + y2 = r2, donde a es la distancia en el eje x desde el centro de la circunferencia hasta el borde y b es la distancia en el eje y desde el centro de la circunferencia hasta el borde.
  2. Calcular el radio r de la circunferencia utilizando la fórmula r = √(a2 + b2).
  3. El centro de la circunferencia se encuentra en el punto (0,0), ya que la circunferencia está centrada en el origen.

Gráfica de la ecuación en el plano cartesiano

La gráfica de la ecuación en el plano cartesiano es una representación visual de la relación entre dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas. En el caso de la ecuación de la circunferencia centrada en el origen, la fórmula es x^2 + y^2 = r^2, donde x e y son las coordenadas del punto en la circunferencia y r es el radio de la circunferencia.

Para graficar esta ecuación en el plano cartesiano, se eligen varios valores de x y se sustituyen en la ecuación para obtener los valores correspondientes de y. Estos pares ordenados se representan como puntos en el plano cartesiano.

En el caso de la ecuación de la circunferencia centrada en el origen, se pueden elegir varios valores de x y calcular los valores correspondientes de y utilizando la fórmula y = sqrt(r^2 – x^2). Estos pares ordenados se representan como puntos en el plano cartesiano y se unen para formar la circunferencia.

Es importante recordar que la ecuación de la circunferencia centrada en el origen sólo representa una circunferencia si el radio r es positivo. Si r es negativo, la ecuación representa el conjunto vacío.

Ejemplos prácticos de su aplicación

Ejemplo 1: Supongamos que se desea encontrar la ecuación de la circunferencia centrada en el origen y que pasa por el punto (3,4). Primero, se debe identificar el centro de la circunferencia, que en este caso es el origen (0,0). Luego, se debe utilizar la fórmula de la ecuación de la circunferencia centrada en el origen, que es x^2 + y^2 = r^2. Para encontrar el radio, se utiliza el hecho de que la circunferencia pasa por el punto (3,4), por lo que se puede sustituir x=3 e y=4 en la fórmula y despejar r. Así, se obtiene que r^2 = 3^2 + 4^2, es decir, r^2 = 25. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es x^2 + y^2 = 25.

Ejemplo 2: Supongamos que se tiene la ecuación de la circunferencia x^2 + y^2 – 6x + 8y – 5 = 0 y se desea escribirla en su forma estándar. Para hacerlo, se debe completar el cuadrado en las variables x e y. Primero, se agrupan los términos con x y los términos con y, quedando así: (x^2 – 6x) + (y^2 + 8y) = 5. Luego, se suma y se resta el término que completa el cuadrado en x (que es (-6/2)^2 = 9) y el término que completa el cuadrado en y (que es (8/2)^2 = 16), quedando así: (x^2 – 6x + 9 – 9) + (y^2 + 8y + 16 – 16) = 5. Después de simplificar, se obtiene que (x-3)^2 + (y+4)^2 = 30. Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia en su forma estándar es (x-3)^2 + (y+4)^2 = 30.

Ejemplo 3: La ecuación de la circunferencia centrada en el origen se puede utilizar en la resolución de problemas en geometría analítica, como por ejemplo para encontrar la intersección entre una recta y una circunferencia. Supongamos que se tiene la recta y = 2x + 1 y la circunferencia x^2 + y^2 = 10. Para encontrar los puntos de intersección, se deben sustituir las expresiones de y en ambas ecuaciones. Así, se obtiene la ecuación cuadrática x^2 + (2x+1)^2 = 10, que simplificando queda 5x^2 + 4x – 3 = 0. Resolviendo la ecuación, se obtiene que x = 1/5 y x = -3. Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta, se obtienen las coordenadas de los puntos de intersección: (1,-1) y (-3,-5).

Así pues, la ecuación de la circunferencia centrada en el origen puede parecer complicada al principio, pero una vez que se comprende su fórmula, se convierte en una herramienta valiosa en el campo de las matemáticas y la geometría. Esperamos que este artículo haya sido útil para entender esta ecuación y sus aplicaciones en el mundo real. ¡Gracias por leernos y esperamos verte de nuevo pronto!

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